Matemáticas DISCRETAS

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Conjuntos y Subconjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de elementos u objetos, que pueden ser números, letras o cualquier cosa que se desee agrupar. Por ejemplo, el conjunto de las vocales: A = {a, e, i, o, u}.
Un subconjunto es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a otro conjunto mayor. Por ejemplo, B = {a, e} es un subconjunto de A, porque todos los elementos de B están en A.

En la vida cotidiana: un conjunto puede ser “los estudiantes de un curso” y un subconjunto podría ser “los estudiantes que aprobaron el examen”.

Operaciones con Conjuntos

Las operaciones con conjuntos permiten relacionar o combinar distintos grupos de elementos:

  • Unión ( ∪ ): reúne los elementos de dos conjuntos.
  • Intersección ( ∩ ): elementos comunes entre dos conjuntos.
  • Diferencia ( \ ): elementos de un conjunto que no están en el otro.
  • Complemento ( ̅ ): todo lo que no pertenece al conjunto en un universo dado.

Ejemplo: si A={1,2,3} y B={3,4}, entonces A ∪ B={1,2,3,4}, A ∩ B={3}, A \ B={1,2}.

Sucesiones

Una sucesión es una lista ordenada de números que siguen una regla o patrón.

  • Aritmética: aumenta o disminuye siempre con la misma diferencia (ejemplo: 2, 5, 8, 11…).
  • Geométrica: cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante (ejemplo: 2, 4, 8, 16…).

Se usan para modelar fenómenos repetitivos como pagos en cuotas, crecimiento poblacional o patrones numéricos.

Divisiones en los Enteros

En Matemática Discreta es importante la división euclídea, que consiste en dividir un número entero entre otro y obtener un cociente y un residuo.
Ejemplo: 47 ÷ 6 = 7 con residuo 5, porque 47 = 6·7 + 5.

Se aplica en criptografía, programación, teoría de números y para diseñar algoritmos eficientes.

Estructuras Matemáticas

Una estructura matemática es un conjunto junto con reglas u operaciones que permiten trabajar con él.
Ejemplos:

  • Grupo: conjunto con una operación que cumple ciertas propiedades.
  • Anillo: conjunto con dos operaciones (suma y producto).
  • Espacio vectorial: conjunto de vectores con operaciones de suma y multiplicación por escalares.

Son la base de la informática teórica, álgebra y programación.

Algoritmos y Seudocódigos

Un algoritmo es un conjunto de pasos ordenados que permiten resolver un problema.
El seudocódigo es una forma de escribir un algoritmo con lenguaje sencillo, cercano al humano, pero estructurado como un programa.

Ejemplo: Algoritmo para sumar los primeros n números:

suma ← 0
para i desde 1 hasta n hacer
   suma ← suma + i
fin
devolver suma

Diagrama de Venn

Un diagrama de Venn es una representación gráfica de los conjuntos y sus relaciones mediante círculos.

  • La unión se muestra como la unión de áreas.
  • La intersección, como la zona común.
  • La diferencia, como la parte de un conjunto excluyendo la intersección.

Se utiliza en estadística, lógica y teoría de conjuntos para visualizar problemas de conteo y clasificación.

Interpretación de la Notación Simbólica en la Definición de Conjuntos

La notación matemática permite describir conjuntos de manera precisa.

  • Por extensión: A={1,2,3,4}.
  • Por comprensión: A={x ∈ N : x < 5}, que se lee “el conjunto de los x pertenecientes a los números naturales tales que x es menor que 5”.

Esta forma de escribir evita ambigüedades y es fundamental en programación, lógica y álgebra.

Proposiciones y operaciones lógicas


Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. Ejemplo: “2 es par” es verdadero. Las operaciones lógicas (¬, ∧, ∨, →, ↔) permiten combinar proposiciones y razonar de manera estructurada, fundamentales en programación y circuitos digitales.

Sintaxis y semántica de la lógica

  • Sintaxis: se refiere a la forma correcta de escribir proposiciones lógicas usando símbolos, paréntesis y conectivos.
  • Semántica: se refiere al significado y valor de verdad de las proposiciones construidas con esa sintaxis.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas


Los conectivos (¬, ∧, ∨, →, ↔) unen proposiciones simples y forman proposiciones compuestas. Ejemplo: “Si estudio, entonces apruebo” (p → q).

Cuantificadores
Permiten expresar generalidad o existencia sobre un conjunto.

  • ∀: para todo (universal).
  • ∃: existe al menos uno (existencial).
    Ejemplo: ∀x ∈ N, x + 0 = x.

Proposiciones condicionales


Son proposiciones de la forma si p entonces q (p → q). Se usan en programación como condiciones que determinan la ejecución de algoritmos.

 Métodos de demostración


Son técnicas para verificar la verdad de una proposición:

  • Demostración directa.
  • Contraposición.
  • Reducción al absurdo.
  • Inducción matemática.

 Álgebra declarativa


Es una rama de la lógica que permite describir sistemas usando expresiones algebraicas declarativas (qué se quiere lograr), sin especificar paso a paso cómo hacerlo. Se relaciona con lenguajes como SQL o Prolog.

 Reglas de inferencia


Son patrones de razonamiento que permiten deducir conclusiones válidas a partir de premisas. Ejemplo:

  • Modus Ponens: Si p → q y p son verdaderos, entonces q es verdadero.

 Evaluación de expresiones


Proceso de determinar el valor de verdad de proposiciones lógicas compuestas, aplicando reglas y tablas de verdad.

 Operaciones binarias


Son funciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercero del mismo conjunto. Ejemplo: suma (+) en los enteros.

 Propiedades de las operaciones binarias

  • Cerradura.
  • Asociatividad.
  • Conmutatividad.
  • Existencia de neutro.
  • Existencia de inverso.

 Semigrupos: definición y propiedades
Un semigrupo es un conjunto con una operación binaria asociativa. Ejemplo: (ℕ, +).

 Productos y cocientes (en semigrupos)

  • Producto: combinación de dos semigrupos para formar uno mayor.
  • Cociente: agrupación de elementos según una relación de equivalencia.

 Grupos: definición y propiedades
Un grupo es un conjunto con una operación binaria que cumple:

  • Asociatividad.
  • Neutro.
  • Inverso.
    Ejemplo: (ℤ, +) con neutro 0.

 Productos y cocientes (en grupos)

  • Producto: unión de grupos en estructuras más grandes (producto directo).
  • Cociente: construcción de un nuevo grupo dividiendo por un subgrupo normal.

Potenciación y radicación

Multiplicación de factores iguales
Cuando un número se multiplica por sí mismo varias veces, podemos representarlo como potencia.
Ejemplo: 2×2×2=232 \times 2 \times 2 = 2^32×2×2=23.

Potencias cuya base sean números negativos y exponentes pares e impares

  • Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo. Ejemplo: (−3)2=9(-3)^2 = 9(−3)2=9.
  • Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo. Ejemplo: (−3)3=−27(-3)^3 = -27(−3)3=−27.

Verificación de la propiedad distributiva de la potenciación con relación a la multiplicación y a la división de números enteros

  • Multiplicación: am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}am×an=am+n.
  • División: aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}anam​=am−n, siempre que a≠0a \neq 0a=0.

Potencia con base

  • Número entero y exponente cero: cualquier número distinto de 0 elevado a 0 es 1. Ej: 50=15^0 = 150=1.
  • Número entero y exponente uno: todo número elevado a 1 es el mismo número. Ej: 71=77^1 = 771=7.

Operaciones fundamentales de la potenciación

  • Suma de potencias (con la misma base y exponente): no se suman exponentes, se suman resultados. Ejemplo: 23+23=8+8=162^3 + 2^3 = 8 + 8 = 1623+23=8+8=16.
  • Resta de potencias: igual que la suma, se restan resultados. Ejemplo: 32−32=9−9=03^2 – 3^2 = 9 – 9 = 032−32=9−9=0.
  • Multiplicación de potencias (misma base): se suman exponentes. Ejemplo: 23×22=25=322^3 \times 2^2 = 2^5 = 3223×22=25=32.
  • División de potencias (misma base): se restan exponentes. Ejemplo: 54÷52=52=255^4 ÷ 5^2 = 5^{2} = 2554÷52=52=25.

Concepto de radicación como operación inversa de la potenciación
La radicación es la operación que busca el número que, multiplicado por sí mismo un número determinado de veces, da el radicando. Ejemplo: 9=3\sqrt{9} = 39​=3 porque 32=93^2 = 932=9.

Elementos de un radical

Índice de la raíz
Indica cuántas veces debe multiplicarse un número por sí mismo para obtener el radicando. Ejemplo: en 83\sqrt[3]{8}38​, el índice es 3.

Radicando
Número que está dentro del radical. Ejemplo: en 25\sqrt{25}25​, el radicando es 25.

Raíz exacta
Cuando el resultado es un número entero. Ejemplo: 16=4\sqrt{16} = 416​=4.

Raíz inexacta
Cuando el resultado es decimal o irracional. Ejemplo: 20≈4.47\sqrt{20} \approx 4.4720​≈4.47.

Raíz de índice en número natural y radicando en número racional
Es una raíz cuyo índice es un número natural y cuyo radicando es fracción o decimal. Ejemplo: 183=12\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}381​​=21​.

Suma, resta, multiplicación de números con radicales

  • Suma/Resta: solo se pueden sumar o restar radicales semejantes. Ej: 23+53=732\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}23​+53​=73​.
  • Multiplicación: se multiplican los radicandos. Ej: 2×8=16=4\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 42​×8​=16​=4.

Generalidades de álgebra

Expresiones algebraicas
Son combinaciones de números, letras (variables) y operaciones. Ejemplo: 3x+2y3x + 2y3x+2y.

Ecuaciones algebraicas
Son igualdades entre expresiones algebraicas con incógnitas. Ejemplo: 2x+3=72x + 3 = 72x+3=7.

Clasificación de expresiones algebraicas de acuerdo a su:

  • Grado: mayor exponente de la variable. Ejemplo: x3x^3×3 → grado 3.
  • Orden: depende del número de variables y sus exponentes.
  • Términos: número de sumandos. Ejemplo: monomio (un término), binomio (dos términos), polinomio (varios términos).

Operaciones fundamentales del álgebra

Suma y resta
Se suman/restan términos semejantes. Ejemplo: 3x+2x=5x3x + 2x = 5x3x+2x=5x.

Multiplicación
Se multiplican coeficientes y se suman exponentes de variables semejantes. Ejemplo: 2x⋅3×2=6x32x \cdot 3x^2 = 6x^32x⋅3×2=6×3.

División
Se dividen coeficientes y se restan exponentes. Ejemplo: 6x32x=3×2\dfrac{6x^3}{2x} = 3x^22x6x3​=3×2.

Factorización
Transformar una expresión en producto de factores más simples. Ejemplo: x2−9=(x−3)(x+3)x^2 – 9 = (x-3)(x+3)x2−9=(x−3)(x+3).

Reducción de términos semejantes
Agrupar y simplificar términos iguales. Ejemplo: 5x+3x=8x5x + 3x = 8x5x+3x=8x.

Resolución de ecuaciones

Resolución de ecuaciones de primer grado
Son ecuaciones de la forma ax+b=0ax + b = 0ax+b=0. Se despeja la incógnita aplicando operaciones inversas.

Introducción al despeje de fórmulas
Consiste en aislar una variable dentro de una expresión para expresar su valor en términos de las demás.

Pasos para efectuar el despeje de fórmulas

  1. Identificar la variable a despejar.
  2. Aplicar operaciones inversas paso a paso.
  3. Mantener el equilibrio de la igualdad.

Variables dependientes e independientes

  • Independiente: valor que se elige libremente (ejemplo: el tiempo en una función).
  • Dependiente: valor que depende de la variable independiente. Ejemplo: en y=2xy = 2xy=2x, yyy depende de xxx.

Proposiciones y operaciones lógicas
Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. Ejemplo: “2 es par” es verdadero. Las operaciones lógicas (¬, ∧, ∨, →, ↔) permiten combinar proposiciones y razonar de manera estructurada, fundamentales en programación y circuitos digitales.

Sintaxis y semántica de la lógica

  • Sintaxis: se refiere a la forma correcta de escribir proposiciones lógicas usando símbolos, paréntesis y conectivos.
  • Semántica: se refiere al significado y valor de verdad de las proposiciones construidas con esa sintaxis.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas
Los conectivos (¬, ∧, ∨, →, ↔) unen proposiciones simples y forman proposiciones compuestas. Ejemplo: “Si estudio, entonces apruebo” (p → q).

Cuantificadores
Permiten expresar generalidad o existencia sobre un conjunto.

  • ∀: para todo (universal).
  • ∃: existe al menos uno (existencial).
    Ejemplo: ∀x ∈ N, x + 0 = x.

Proposiciones condicionales
Son proposiciones de la forma si p entonces q (p → q). Se usan en programación como condiciones que determinan la ejecución de algoritmos.

Métodos de demostración
Son técnicas para verificar la verdad de una proposición:

  • Demostración directa.
  • Contraposición.
  • Reducción al absurdo.
  • Inducción matemática.

Álgebra declarativa
Es una rama de la lógica que permite describir sistemas usando expresiones algebraicas declarativas (qué se quiere lograr), sin especificar paso a paso cómo hacerlo. Se relaciona con lenguajes como SQL o Prolog.

Reglas de inferencia
Son patrones de razonamiento que permiten deducir conclusiones válidas a partir de premisas. Ejemplo:

  • Modus Ponens: Si p → q y p son verdaderos, entonces q es verdadero.

Evaluación de expresiones
Proceso de determinar el valor de verdad de proposiciones lógicas compuestas, aplicando reglas y tablas de verdad.

Operaciones binarias
Son funciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercero del mismo conjunto. Ejemplo: suma (+) en los enteros.

Propiedades de las operaciones binarias

  • Cerradura.
  • Asociatividad.
  • Conmutatividad.
  • Existencia de neutro.
  • Existencia de inverso.

Semigrupos: definición y propiedades
Un semigrupo es un conjunto con una operación binaria asociativa. Ejemplo: (ℕ, +).

Productos y cocientes (en semigrupos)

  • Producto: combinación de dos semigrupos para formar uno mayor.
  • Cociente: agrupación de elementos según una relación de equivalencia.

Grupos: definición y propiedades
Un grupo es un conjunto con una operación binaria que cumple:

  • Asociatividad.
  • Neutro.
  • Inverso.
    Ejemplo: (ℤ, +) con neutro 0.

Productos y cocientes (en grupos)

  • Producto: unión de grupos en estructuras más grandes (producto directo).
  • Cociente: construcción de un nuevo grupo dividiendo por un subgrupo normal.